1) Почему минус один умножить на минус один равно плюс один?
2) Почему минус один умножить на плюс один равно минус один?

«Враг моего врага - мой друг».

Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.

Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, ... Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны - нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел - тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение - это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже - сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом - так появились дробные числа.

В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений - это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт - один из «основателей» современной математики - называл их «ложными» (в XVII веке!).

Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2 . Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные - в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , x = 3 . При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x , (–15) = (–5)x . Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5) . Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3 .

Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел . Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин - а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам - как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции... Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).

В итоге появилось новое понятие: кольцо . Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами ), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B ) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C ) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A , и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A) ), что A + (–A) = 0 ;
умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C ;
сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C .

Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы - нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B) , а во-вторых (–(–A)) = A . Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С . То есть A + B = 0 = A + C . Рассмотрим сумму A + B + C . Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C , а с другой стороны, она равна C : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C . Значит, B = C .

Заметим теперь, что и A , и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A) , поэтому они должны быть равны.

Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B , то есть (–A)·B противоположно A·B , значит, оно равно –(A·B) .

Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B . В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B . То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.

Ответил: Евгений Епифанов

Показать комментарии (37)

Свернуть комментарии (37)

Хороший ответ. Но для уровня старшекласника-первокурсника. Мне кажется можно объяснить проще и нагляднее, на примере формулы "расстояние = скорость * время" (2 класс).

Допустим мы идем вдоль дороги, нас обгоняет машина и начинает удаляться. Время растет - и расстояние до нее растет. Скорость такой машины будем считать положительной, она может быть например 10 метров в секунду. Кстати, а сколько это километров в час? 10/1000(км)*60(сек)*60 (мин)= 10*3,6 = 36 км/ч. Немного. Наверное дорога плохая...

А вот машина идущая нам навстречу не удаляется, а приближается. Поэтому и скорость ее удобно считать отрицательной. Например -10 м/сек. Расстояние уменьшается: 30, 20, 10 метров до встречной машины. Каждая секунда - минус 10 метров. Теперь понятно почему скорость с минусом? Вот она пролетела мимо. Какое до нее расстояние через секунду? Правильно, -10 метров, т.е. "в 10 метрах позади".

Вот мы получили первое утверждение. (-10 м/сек) * (1 сек) = -10 м.
Минус (отрицательная скорость) на плюс (положительное время) дал минус (отрицательное расстояние, машина у меня за спиной).

А теперь внимание - минус на минус. Где встречная машина была за секунду ДО того как проехала мимо? (-10 м/сек) * (- 1 сек) = 10 м.
Минус (отрицательная скорость) на минус (отрицательное время) = плюс (положительное расстояние, машина была в 10 метрах у меня перед носом).

Так понятно, или кто-то знает пример еще проще?

Ответить

Да можно доказать проще! 5*2-это два раза отложить на числовой прямой, в положительную сторону, число 5, и тогда получим число 10. если 2*(-5), то отсчитываем два раза по числу 5, но уже в отрицательную сторону, и получим число(-10), теперь представим 2*(-5), как
2*5*(-1)=-10, ответ переписываем из предыдущего вычисления, а не полученного в этом, Значит можно сказать, что при умножении числа на (-1), есть перевёртывание числовой двух полярной оси, т.е. смена полярности на противоположную. То что мы отложили в положительную часть стало отрицательным и наоборот. Теперь (-2)*(-5), запишем как (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), отложив число (-10), и поменяв полярность оси, т.к. умножаем на (-1), получим +10, не знаю только получилось ли проще?

Ответить

Думаю вы правы. Я лишь попытаюсь показать вашу точку зрения подробнее, т.к. вижу, что не все это поняли.
Минус означает отобрать. Если у вас отобрали 5 яблок 1 раз, то в итоге у вас отобрали 5 яблок, что условно обозначается минусом, т.е. – (+5). Ведь надо же как то обозначить действие. Если 5 раз отобрали по 1 яблоку, то в итоге так же отобрали: – (+5). При этом отобранные яблоки не стали мнимыми, т.к. закон сохранения материи никто не отменял. Положительные яблоки просто перешли к тому, кто их отобрал. Значит мнимых чисел нет, есть относительное движение материи со знаком + или -. Но раз так, то запись: (-5) * (+1) = -5 или (+5) * (-1) = -5 не точно отражает действительность, а обозначает её только условно. Поскольку мнимых чисел нет, то всё произведение всегда положительное → «+» (5*1). Далее происходит отрицание положительного произведения, что означает отъём → «- +» (5*1). Здесь минус не компенсирует плюс, а отрицает его и становится на его место. Тогда в итоге получаем: -(5*1) = -(+5).
Для двух минусов можно записать: «- -» (5*1) = 5. Знак «- -» означает «+», т.е. экспроприацию экспроприаторов. Сначала яблоки отобрали у вас, а затем вы их отобрали у вашего обидчика. В результате все яблоки остались положительными, только отбор не состоялся, т.к. произошла социальная революция.
Вообще говоря, то что отрицание отрицания ликвидирует отрицание и всё к чему отрицание относится детям понятно и без объяснений, т.к. это очевидно. Объяснить детям нужно только то, что взрослые искусственно запутали, да так, что и сами теперь не могут разобраться. А путаница состоит в том, что вместо отрицания действия ввели отрицательные числа, т.е. отрицательную материю. Вот дети и недоумевают, почему при сложении отрицательной материи сумма получается отрицательной, что вполне логично: (-5) + (-3) = -8, а при умножении такой же отрицательной материи: (-5) * (-3) = 15, она вдруг в итоге становится положительной, что не логично! Ведь с отрицательной материей должно происходить всё тоже самое, что и с положительной, только с другим знаком. Поэтому детям кажется логичнее, что при умножении отрицательной материи должно происходить приумножение именно отрицательной материи.
Но и здесь не всё гладко, ведь для приумножения отрицательной материи достаточно чтобы только одно число было с минусом. При этом один из сомножителей, который обозначает не вещественное наполнение, а разы повторения отобранной материи всегда положительный, т.к. разы не могут быть отрицательными даже если повторяется отрицательная (отобранная) материя. Поэтому при умножении (делении) знаки правильнее ставить перед всем произведением (делением), что мы и показали выше: «- +» (5*1) или «- -» (5*1).
А для того, чтобы знак минус воспринимался не как признак мнимого числа, т.е. отрицательной материи, а как действие, взрослым нужно договориться сначала между собой, что если знак минус стоит пред числом, то он обозначает отрицательное действие с числом, которое всегда положительное, а не мнимое. Если же знак минус стоит перед другим знаком, то он обозначает отрицательное действие с первым знаком, т.е. меняет его на противоположный. Тогда всё станет на свои места естественным образом. Затем надо объяснить это детям и они прекрасно поймут и усвоят такое понятное правило взрослых. Ведь сейчас все взрослые участники обсуждения фактически пытаются объяснить необъяснимое, т.к. физического объяснения этому вопросу нет, это просто условность, правило. А объяснять абстракцию абстракцией же - это тавтология.
Если знак минус отрицает число, то это физическое действие, но если он отрицает само действие, то это просто условное правило. То есть взрослые просто договорились, что если отбор отрицается, как в рассматриваемом вопросе, то отбора нет, неважно сколько раз! При этом всё, что у вас было остаётся с вами, будь то просто число, будь то произведение чисел, т.е. много попыток отбора. Вот и всё.
Если кто-то не согласен, то подумайте спокойно ещё раз. Ведь и пример с машинами, в котором есть отрицательная скорость и отрицательное время за секунду до встречи это всего лишь условное правило связанное с системой отсчёта. В другой системе отсчёта та же скорость и то же время станут положительными. А пример с зазеркальем связан со сказочным правилом, в котором минус отражаясь в зеркале только условно, но вовсе не физически становится плюсом.

Ответить

С математическими минусами все вроде понятно. А вот в языке, когда задается вопрос с отрицанием как на него отвечать? Вот, например, меня всегда ставил такой вопрос в тупик: "Вы не хоти ли чая?". Как на него ответить при условии, что я чай хочу? Вроде если сказать "Да", то чая не дадут (это как + и -), если нет то должны дать (- и -), а если "Нет, не хочу"???

Ответить

Для того, что бы ответить на такой детский вопрос, нужно сперва ответить на парочку взрослых вопросов: "Что такое минус в математике?" и "Что такое умножение и деление?". Насколько понимаю я, именно там начинаются проблемы, которые в итоге приводят к кольцам и прочей ахинее при ответе на такой простой детский вопрос.

Ответить

Ответ явно не для простых школьников!
В младших классах читала чудесную книжку - ту что про Карликанию и Аль-Джебру, а может и в математическом кружке приводили пример - ставили по разные стороны знака равно двух человек с яблоками разных цветов и предлагали давать друг другу яблоки. Потом между участниками игры ставили и другие знаки - плюс, минус, больше, меньше.

Ответить

Детский ответ, да??))
Может прозвучит жестоко, но автор сам не понимает почему минус на минус даёт плюс:-)
Всё в мире можно объяснить наглядно, ведь абстракции нужны лишь для объяснения мира. Они привязаны к реальности, а не живут сами по себе в бредоватых учебниках.
Хотя для объяснения нужно как минимум знать физику а иногда и биологию в купе с основами нейрофизиологи человека.

Но тем не менее, первая часть дала надежду понять, и очень доступно объяснила необходимость отрицательных чисел.
Но вторая традиционно съехала в шизофрению. А и В - это должны быть реальные объекты! так зачем же их называть этими буквами, когда можно взять например буханки хлеба или яблоки
Если.. если было бы можно... да?))))))

И... даже пользуясь правильной основой из первой части (что умножение это то же сложение) - с минусами получается противоречие))
-2 + -2 = -4
но
-2 * -2 =+4))))
и даже если считать что это минус два, взятое минус два раза, то получится
-2 -(-2) -(-2) = +2

Стоило просто признаться, что раз числа виртуальные, то для относительно правильного учёта пришлось придумать виртуальные правила.
И это было бы ПРАВДОЙ, а не окольцованной чушью.

Ответить

В своём примере Academon допустил ошибку:
На самом деле (-2)+(-2) = (-4) – это 2 раза по (-2), т.е. (-2) * 2 = (-4).
Что же касается умножения двух отрицательных чисел, без противоречий, это то же сложение, только с другой стороны от «0» на числовой прямой. А именно:
(-2) * (-2) = 0 –(-2) –(-2) = 2 + 2 = 4. Так что всё сходится.
Ну, а относительно реальности отрицательных чисел, как вам такой пример?
Если у меня в кармане, допустим, 1000$, настроение моё можно назвать «положительным».
Если 0$, соответственно состояние будет «никаким».
А если (-1000)$ – долг, который надо возвращать, а денег нет...?

Ответить

Минус на минус - всегда будет плюс,
Отчего так бывает - сказать не берусь.

Почему -на-=+ привел меня в недоумение еще в школе, в 7 классе (1961 г). Я попытался придумать другую, более "справедливую" алгебру, где +на+=+, а -на-=-. Так мне показалось будет честнее. Но как тогда быть с +на- и -на+? Потерять коммутативность xy=yx не хотелось, а иначе не выходит.
А что если взять не 2 знака а три, например +, - и *. Равноправные и симметричные.

СЛОЖЕНИЕ
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) не складывются(!), как действительная и мнимая части комплексного числа.
Но за то (+a)+(-a)+(*a)=0.

Например, чему равно (+6)+(-4)+(*2)?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Не просто, но привыкнуть можно.

Теперь УМНОЖЕНИЕ.
Постулируем:
+на+=+ -на-=- *на*=* (справедливо?)
+на-=-на+=* +на*=*на+=- -на*=*на-=+ (справедливо!)
Казалось бы все хорошо, но умножение не ассоциативно, т.е.
а(bс) не равно (аb)с.

А если так
+на+=+ -на-=* *на*=-
+на-=-на+=- +на*=*на+=* -на*=*на-=+
Опять несправедливо, + выделен как особый. НО родилась НОВАЯ АЛГЕБРА с тремя знаками. Коммутативная, ассоциативная и дистрибутивная. У нее есть геометрическая интерпретация. Она изоморфна Комплексным числам. Ее можно расширять дальше: четыре знака, пять...
Такого еще не было. Берите, люди, пользуйтесь.

Ответить

Детский вопрос - вообще детский ответ.
Есть наш мир, где всё "плюс": яблоки, игрушки, кошки и собаки, они настоящие. Яблоко можно съесть, кошку можно погладить. А ещё есть придуманный мир, зазеркалье. Там тоже есть яблоки и игрушки, зазеркальные, мы можем их представить, но потрогать не можем - они придуманные. Попасть из одного мира в другой мы можем с помощью знака "минус". Если у нас есть два настоящих яблока (2 яблока), и мы поставим знак минус (-2 яблока) - получим два придуманных яблока в зазеркалье. Знак минус переносит нас из одного мира в другой, туда-обратно. Зазеркальных яблок в нашем мире нет. Мы можем их представить целую кучу, даже миллион (минус миллион яблок). Вот только съесть их не получится, потому что минус яблок у нас нет, все яблоки в наших магазинах - это плюс яблоки.
Умножить - значит расставить какие-нибудь предметы в виде прямоугольника. Возьмём две точки ":" и умножим их на три, получим: ": : :" - всего шесть точек. Можно взять настоящее яблоко (+Я) и умножить его на три, получим: "+ЯЯЯ" - три настоящих яблока.
А теперь умножим яблоко на минус три. Мы снова получим три яблока "+ЯЯЯ", но знак минус перенесёт нас в зазеркалье, и у нас окажется три зазеркальных яблока (минус три яблока -ЯЯЯ).
А теперь умножим минус яблоко (-Я) на минус три. То есть берём яблоко, а коли перед ним минус - переносим в зазеркалье. Там мы умножаем его на три. Теперь у нас три зазеркальных яблока! Но остался ещё один минус. Он переместит полученные яблоки назад, в наш мир. В итоге получим три настоящих вкусных яблока +ЯЯЯ, которые можно слопать.

Ответить

Всё хорошо до последнего шага. При умножении на минус единицу трёх зеркальных яблок, мы должны отразить эти яблоки ещё в одном зеркале. Они по расположению будут совпадать с реальными, но будут такими же мнимыми, как и первые зеркальные и такими же несъедобными. То есть (-1)*(-1)= --1 <> 1.
На самом деле меня смущает другой момент связанный с умножением отрицательных чисел, а именно:
Верно ли равенство:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?
Этот вопрос возник из попытки осознать поведение графика функции y=x^n, где x и n - действительные числа.
Получается что график функции расположен будет в 1 и 3 четвертях всегда, кроме тех случаев когда n - чётное. При этом меняется лишь кривизна графика. Но чётность n - величина относительная, ведь мы можем принять другую систему отсчёта, в которой n = 1,1*k, далее мы получаем
y = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
и чётность здесь будет уже другая...
И в добавок я предлагаю добавить к рассуждению то что происходит с графиком функции y = x^(1/n). Я не без оснований предполагаю что график функции должен быть симметричен графику y = x^n относительно графика функции y = x.

Ответить

Есть несколько способов объяснения правила "минус на минус дает плюс".Вот самый простой. Умножение на натур. число n - это растяжение отрезка (расположенного на числовой оси) в n раз. Умножение на -1 это отражение отрезка относительно начала координат. В качестве кратчайшего объяснения, почему (-1)*(-1) = +1 этот способ пригоден.Узкое место этого подхода в том, что нужно еще отдельно определить сумму таких операторов.

Ответить

Можно идти при объяснении от комплексных чисел
как более общей формы представления чисел
Тригонометрическая форма комплексного числа
Формула Эйлера
Знак в этом случае это просто аргумент (угол поворота)
При умножении углы складываются
0 градусов соответствует +
180 градусов соответствует -
Умножение - на - эквивалентно 180+180=360=0

Ответить

Такое покатит?

Отрицания - это обратная вещь. Для простоты, чтобы временно отойти от минусов, заменим утверждения и сделаем точку отсчета больше. Начнем отсчет не с нуля, а с 1000.

Допустим, мне два человека должны дать по два рубля: 2_человека*2_рубля=4_рубля мне должны в сумме. (мой баланс 1004)

Теперь обратные (отрицательные числа, но обратные/положительные утверждения):

минус 2 человека = значит не мне должны, а я должен (я должен большему числу людей, чем мне должны). Например, я должен 10-и людям, а мне всего 8. Взаимные расчеты можно сократить и не учитывать, но можно иметь ввиду, если удобнее работать с положительными числами. То есть все друг другу выдают деньги.

минус 2 рубля = аналогичный принцип - должно забрать больше, чем дать. Значит я каждому должен по два рубля.

-(2_человека)*2_рубля=я_должен_каждому_по_2=-4 у меня. Мой баланс 996 рублей.

2_человека*(-2_рубля)=двое_должы_забрать_по_2_рубля_у_меня=- 4 у меня. Мой баланс 996 рублей.

-(2_человека)*(-2_рубля)= каждый_должен_взять_у_меня_меньше_чем_должен_дать_на_2_рубля

Вообще, если представить, что все крутится не около 0, а около, к примеру, 1000, а выдают денег по 10, забирая по 8. То можно последовательно выполняя все операции выдачи кому-то денег или отбирания, придти к выводу, что если двое лишних (остальных сократим взаимозачетом) заберут у меня на два рубля меньше, чем вернут, то мое благосостоянии вырастет на положительную цифру 4.

Ответить

В поисках ПРОСТОГО (понятного ребенку) ответа на поставленный вопрос ("Почему минус на минус дает плюс") я старательно прочла и предложенную автором статью, и все комментарии. Считаю наиболее удачным ответом тот, который вынесен в эпиграф: "Враг моего врага - мой друг". Куда уж понятнее! Просто и гениально!

Некий путешественник прибывает на остров, о жителях которого ему известно лишь одно: некоторые из них говорят только правду, другие - только ложь. Внешне их различить невозможно. Путешественник высадился на берег и видит дорогу. Он хочет узнать, ведет ли эта дорога в город. Увидев на дороге местного жителя, он задает ему ТОЛЬКО ОДИН вопрос, позволяющий ему узнать, что дорога в город ведет. Как он спросил об этом?

Решение - тремя строками ниже (просто чтобы сделать паузу и дать вам, взрослым, шанс приостановиться и подумать над этой замечательной задачей!) Моему внуку-третьекласснику задачка оказалась пока не по зубам, но осмысление ответа, без сомнения, приблизило его к пониманию грядущих математических премудростей типа "минус на минус дает плюс".

Итак, ответ:

"Если бы я спросил у вас, ведет ли эта дорога в город, что бы вы мне ответили?"

«Алгебраическое» объяснение не смогло поколебать ни моей горячей любви к отцу, ни глубокого уважения к его науке. Но я навсегда возненавидел аксиоматический метод с его немотивированными определениями.

Интересно, что этот ответ И.В.Арнольда на детский вопрос практически совпал по времени с выходом в свет его книги "Отрицательные числа в курсе алгебры". Там (в главе 7) приводится совершенно другой ответ, по-моему, очень наглядный. Книга доступна в электронном виде http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

Ответить

Если есть парадокс, нужно искать ошибки в основах. В формулировке умножения три ошибки. Отсюда и получается "парадокс". Нужно просто добавить ноль.

(-3) х (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Умножение - это многократное прибавление к нулю (или вычитание из нуля).

Множитель (4) показывает количество операций прибавления или вычитания (количество знаков "минус" или "плюс" при разложении умножения на сложение).

Знаки "минус" и "плюс" у множителя (4) предписывают либо вычитать множимое из нуля, либо прибавлять множимое к нулю.

Конкретно в этом примере (-4) указывает, что нужно вычесть ("-") из нуля множимое (-3) четыре раза (4).

Исправьте формулировку (три логические ошибки). Просто добавьте ноль. Правила арифметики от этого не изменятся.

Подробно на эту тему здесь:

http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm

Что за привычка механически верить учебникам? Нужно и собственные мозги иметь. Особенно, если встречаются парадоксы, белые пятна, явные противоречия. Все это следствие ошибок в теории.

Разложить на слагаемые произведение двух отрицательных чисел, по существующей сейчас формулировке умножения (без нуля), невозможно. Это никого не напрягает?

Что же это за формулировка умножения, по которой невозможно выполнить умножение? :)

Проблема ещё и чисто психологическая. Слепое доверие авторитетам, нежелание думать самостоятельно. Если в учебниках так написано, если в школе так учат, значит, это истина в последней инстанции. Все меняется, в том числе и науки. Иначе бы не было развития цивилизации.

Исправьте формулировку умножения во всех учебниках! Правила арифметики от этого не изменятся.

Более того, как следует из статьи по ссылки выше, исправленная формулировка умножения станет аналогичной формулировки возведения числа в степень. Там тоже не записывают единицу при возведении в положительную степень. Однако записывают единицу при возведении числа в отрицательную степень.

Господа математики, вашу мать, нужно всегда записывать ноль и единицу, даже если результат от их отсутствия не изменяется.

Изменяется (или даже пропадает) смысл от сокращенных записей. И появляются проблемы с пониманием у школьников.

Ответить

Написать комментарий

Действительно, а почему? Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы запомнили - что вот именно так и больше не задаемся вопросом.

А давайте зададимся...

Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, ... Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.

Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 - 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.

В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).

Рассмотрим для примера уравнение 7x - 17 = 2x - 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (-15)/(-5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (-15)/(-5) = 3.

Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

Сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (-A)), что A + (-A) = 0;
-умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.

Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (-A)·B = -(A·B), а во-вторых (-(-A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (-1)·1 = -(1·1) = -1 и (-1)·(-1) = -((-1)·1) = -(-1) = 1.

Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.

Заметим теперь, что и A, и (-(-A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (-A), поэтому они должны быть равны.

Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (-A))·B = A·B + (-A)·B, то есть (-A)·B противоположно A·B, значит, оно равно -(A·B).

Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

Евгений Епифанов

Сейчас мы рассмотрим на примерах вычитание отрицательных чисел , и вы убедитесь, что это очень легко. Нужно просто помнить правило: два минуса, стоящие рядом, дают плюс.

Пример 1. Вычитание отрицательного числа из положительного числа

56 – (–34) = 56 + 34 = 90

Как видим, чтобы вычесть из положительного числа отрицательное число, нужно просто сложить их модули.

Пример 2. Вычитание отрицательного числа из отрицательного числа

– 60 – (– 25) = – 60 + 25 = – 35

– 15 – (– 30) = – 15 + 30 = 15

Таким образом, при вычитании отрицательного числа из отрицательного мы действуем по правилу , и у нас может получиться как положительное, так и отрицательное число.

Существует единое правило, определяющее вычитание любых чисел: как отрицательных, так и положительных, и звучит оно так:

Правило знаков

Для того, чтобы избавиться от лишних скобок при вычитании отрицательных чисел, мы можем воспользоваться правилом знаков. Это правило гласит:

Например:

А теперь пройдите тест и проверьте себя!

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 20 заданий окончено

Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике . Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков . Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.

Рассмотрим подробней основные правила знаков.

Деление.

Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».

Умножение.

Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».

Вычитание и сложение.

Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.

Минус на минус даёт плюс – это правило, которые мы выучили в школе и применяем всю жизнь. А кто из нас интересовался почему? Конечно, проще без лишних вопросов запомнить данное утверждение и глубоко не вникать в суть вопроса. Сейчас и без того достаточно информации, которую необходимо «переварить». Но для тех, кого всё же заинтересует этот вопрос, постараемся дать объяснение этому математическому явлению.

С древних времён люди пользуются положительными натуральными числами: 1, 2, 3, 4, 5,… С помощью чисел считали скот, урожай, врагов и т.д. При сложении и умножении двух положительных чисел получали всегда положительное число, при делении одних величин на другие не всегда получали натуральные числа – так появились дробные числа. Что же с вычитанием? С детских лет мы знаем, что лучше к большему прибавить меньшее и из большего вычесть меньшее, при этом мы опять же не используем отрицательные числа. Получается, если у меня есть 10 яблок, я могу отдать кому-то только меньше 10 или 10. Я никак не смогу отдать 13 яблок, потому что у меня их нет. Нужды в отрицательных числах не было долгое время.

Только с VII века н.э. отрицательные числа использовались в некоторых счётных системах, как вспомогательные величины, которые позволяли получить положительное число в ответе.

Рассмотрим пример , 6х – 30 = 3х – 9. Чтобы найти ответ, необходимо члены с неизвестными оставить в левой части, а остальные - в правую: 6х – 3х = 30 – 9, 3х = 21, х = 7. При решении этого уравнения нам даже не встретились отрицательные числа. Мы могли бы члены с неизвестными перенести в правую часть, а без неизвестных - в левую: 9 – 30 = 3х – 6х, (-21) = (-3х). При деление отрицательного числа на отрицательное получаем положительный ответ: х = 7.

Что мы видим?

Действия с использованием отрицательных чисел должны привести нас к такому же ответу, что и действия только с положительными числами. Мы можем больше не думать о практической непригодности и осмысленности действий – они помогают нам решить задачу гораздо быстрее, не приводя уравнение к виду только с положительными числами. В нашем примере мы не использовали сложных вычислений, но при большом количестве слагаемых вычисления с отрицательными числами могут облегчить нам работу.

Со временем, после проведения длительных опытов и вычислений удалось выявить правила, которым подчиняются все числа и действия над ними (в математике они называются аксиомами). Отсюда и появилась аксиома, которая утверждает, что при умножении двух отрицательных чисел получаем положительное.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Предыдущая статья: Взрослый сын не хочет работать молитва Как заставить сына идти работать Следующая статья: Определения пола ребенка по методу обновления крови Определение пола ребенка по обновлению крови

Как понять, почему «плюс» на «минус» дает «минус»? Правила умножения минус на минус Частное минус на минус равно плюс

Правило знаков

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Навигация (только номера заданий)

Деление.

Умножение.

Вычитание и сложение.